Toán giải tích 1
- 202 trang
- file: .pdf
đang tải dữ liệu....
Tài liệu bị giới hạn, để xem hết nội dung vui lòng tải về máy tính.
Tải xuống - 202 trangNội dung text: Toán giải tích 1
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
===== =====
GIẢI TÍCH 1
(Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa ngành QTKD)
Lưu hành nội bộ
HÀ NỘI - 2007
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
GIẢI TÍCH 1
Biên soạn : TS. VŨ GIA TÊ
LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích (Toán cao cấp A1) là học phần đầu tiên của chương trình toán dành cho sinh viên
các nhóm ngành Quản trị kinh doanh. Để học tốt môn Toán cao cấp theo phương thức Đào tạo từ
xa, bên cạnh các học liệu: sách, giáo trình in, băng đĩa hình,..., sách hướng dẫn cho người học
toán cao cấp là rất cần thiết. Tập sách hướng dẫn này được biên soạn là nhằm mục đích trên. Tập
sách được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Bộ Giáo dục Đào tạo và theo đề
cương chương trình được Học viện Công nghệ BC-VT thông qua năm 2007.
Sách hướng dẫn học toán cao cấp A1 bám sát các giáo trình của các trường đại học đang
giảng dạy chuyên ngành Quản trị kinh doanh, giáo trình dành cho hệ chính qui của Học viện
Công nghệ BC-VT biên soạn năm 2001 và kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của tác giả. Chính
vì thế, tài liệu này có thể dùng để học tập và tham khảo cho sinh viên của tất cả các trường, các
ngành đại học và cao đẳng.
Cách trình bày trong sách thích hợp cho người tự học, đặc biệt phục vụ đắc lực trong công
tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu
của mỗi chương để thấy được mục đích, yêu cầu chính của chương đó. Trong mỗi chương, mỗi
nội dung, người đọc có thể tự đọc và hiểu được thông qua các ví dụ minh hoạ. Sau các chương,
người đọc phải tự trả lời được các câu hỏi ôn tập dưới dạng trắc nghiệm. Nhờ các ví dụ minh hoạ
được đưa ra từ đơn giản đến phức tạp, người đọc có thể coi đó là bài tập mẫu để tự giải các bài
tập có trong tài liệu. Người đọc có thể tự kiểm tra, đánh giá kiến thức, khả năng thu nhận dựa
vào phần hướng dẫn và đáp số được cung cấp ở những trang cuối sách.
Cũng cần nhấn mạnh rằng, nội dung chính của toán cao cấp là phép tính vi phân và phép
tính tích phân mà nền tảng của nó là phép tính giới hạn của hàm số. Chính vì thế chúng tôi trình
bày khá tỉ mỉ hai chương đầu của tài liệu để người học tự đọc cũng có thể có được các kiến thức
vững vàng để đọc tiếp các chương sau. Trong quá trình tự đọc và học qua mạng, tuỳ theo khả
năng tiếp thu, học viên có thể chỉ cần nhớ các định lý và bỏ qua phần chứng minh của nó.
Nhân đây tác giả cũng lưu ý rằng ở bậc trung học phổ thông của nước ta, chương trình
toán cũng đã bao hàm các kiến thức về vi, tích phân. Tuy nhiên các nội dung đó chỉ mang tính
chất giới thiệu do lượng thời gian hạn chế, do cấu tạo chương trình. Vì thế nếu không tự đọc một
cách nghiêm túc các định nghĩa, định lý cũng sẽ vẫn chỉ nắm được một cách hời hợt và như vậy
rất gặp khó khăn trong việc giải các bài tập toán cao cấp.
Sách gồm 5 chương tương ứng với học phần gồm 45 đến 60 tiết:
Chương I: Hàm số và giới hạn
Chương II: Đạo hàm và vi phân.
Chương III: Hàm số nhiều biến số
Chương IV: Phép tính tích phân.
Chương V: Phương trình vi phân
5
Tuy rằng tác giả đã cố gắng rất nhiều, song thời gian bị hạn hẹp.Vì vậy các thiếu sót còn
tồn tại trong cuốn sách là điều khó tránh khỏi. Tác giả chân thành chờ đón sự đóng góp ý kiến
của các bạn đồng nghiệp, học viên xa gần và xin cảm ơn về điều đó.
Chúng tôi bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ BC-VT, Trung
tâm Đào tạo BC-VT1, Phòng Đào tạo Đại học từ xa và các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn Toán
của Học viện Công nghệ BC-VT đã khuyến khích động viên, tạo điều kiện cho ra tập tài liệu này
Hà Nội, ngày 7 tháng 6 năm 2006
Tác giả
6
Chương 1: Hàm số một biến số
CHƯƠNG I: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU
Mọi vật xung quanh ta đều biến đổi theo thời gian. Chúng ta có thể nhận thấy điều đó qua
sự chuyển động cơ học của các vật thể: ô tô, máy bay; sự thay đổi của các đại lượng vật lý: nhiệt
độ, tốc độ, gia tốc; sự biến động kinh tế trong một xã hội: Giá cổ phiếu, lãi suất tiết kiệm,.... Tất
cả các loại hình đó được gán một tên chung là đại lượng hay hàm số, nó phụ thuộc vào đối số
nào đó, chẳng hạn là thời gian. Xem xét hàm số tức là quan tâm đến giá trị, tính chất và biến
thiên của nó. Việc đó đặt ra như một nhu cầu khách quan của con người và xã hội.
Trong chương này, chúng ta cần nắm được các nội dung sau:
1. Mô tả định tính và định lượng các hàm số sơ cấp cơ bản. Nhận biết hàm số sơ cấp, tính
chất giới hạn và liên tục của nó.
2. Khái niệm giới hạn của hàm số trong các quá trình khác nhau, các tính chất về giới hạn
và thành thạo các phương pháp khử các dạng bất định dựa trên phép thay thế các VCB, VCL
tương đương, đặc biệt các giới hạn đáng nhớ:
x x
sin x x ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
lim = lim = 1 , lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ = e
x →0 x x → 0 sin x x → +∞
⎝ x⎠ x → −∞
⎝ x⎠
3. Khái niệm liên tục, gián đoạn của một hàm số. Các tính chất hàm số liên tục trên một
đoạn kín.
4. Các hàm số thường dùng trong phân tích kinh tế.
NỘI DUNG
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
1.1.1. Các định nghĩa cơ bản
A. Định nghĩa hàm số
Cho X là tập không rỗng của . Một ánh xạ f từ X vào gọi là một hàm số một biến số
f :X →
x 6 f ( x)
X gọi là tập xác định của f , f ( X ) gọi là tập giá trị của f . Đôi khi ký hiệu
y = f ( x ), x ∈ X , x gọi là đối số ( biến độc lập), y gọi là hàm số (biến phụ thuộc)
B. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho X đối xứng với 0 tức là ∀x ∈ X ,− x ∈ X
Hàm số f (x) chẵn khi và chỉ khi f ( x) = f (− x) .
Hàm số f (x) lẻ khi và chỉ khi f ( x) = − f (− x).
C. Hàm số tuần hoàn
7
Chương 1: Hàm số một biến số
Hàm số f (x) gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại τ ∈ *+ ,( *
+ được kí hiệu là tập các số
dương) sao cho ∀x ∈ X thì
x+ τ ∈ X và f (x+ τ )= f (x).
Số T dương bé nhất trong các số τ gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f(x).
D. Hàm số đơn điệu
Cho f (x) với x ∈ X .
1. Nói rằng f (x) tăng nếu ∀x1 , x 2 ∈ X , x1 ≤ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) .
và f (x) tăng ngặt nếu ∀x1 , x 2 ∈ X , x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) .
2. Nói rằng f (x) giảm nếu ∀x1 , x 2 ∈ X , x1 ≤ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) .
và f (x) giảm ngặt nếu ∀x1 , x 2 ∈ X , x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) .
3. Nói rằng f (x) đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm.
Nói rằng f (x) đơn điệu ngặt nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt.
E. Hàm số bị chặn
1. Hàm số f (x) bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho :
∀x ∈ X , f ( x ) ≤ A .
2. Hàm số f (x) bị chặn dưới trong X nếu tồn tại số B sao cho: ∀x ∈ X , B ≤ f ( x) .
3. Hàm số f (x) bị chặn trong X nếu tồn tại các số A,B sao cho:
∀x ∈ X , B ≤ f ( x ) ≤ A .
F. Hàm số hợp
Cho f : X → và g: Y → với f ( X ) ⊂ Y gọi ánh xạ
g0 f : X →
x 6 g ( f ( x))
Hay y = g( f (x)) là hàm số hợp của hai hàm f và g.
G. Hàm số ngược
Cho song ánh f : X → Y, X ,Y ⊂
Ánh xạ ngược f −1 : Y → X gọi là hàm số ngược của f
y 6 x = f −1 ( y )
Thông thường đối số kí hiệu là x, hàm số kí hiệu là y, vậy hàm ngược của y = f (x ) là
hàm số y = f −1 ( x ) . Vì thế trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị của hai hàm số f và f −1 là
đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ I và III.
1.1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản
A. Hàm luỹ thừa
Cho α ∈ . Hàm luỹ thừa với số mũ α ,được kí hiệu là Pα , là ánh xạ từ *
+ vào , xác
định như sau ∀x ∈ *+ , Pα ( x) = xα
8
Chương 1: Hàm số một biến số
Nếu α > 0 , coi rằng Pα (0) = 0 . Nếu α = 0 , coi rằng P0 (0) = 1
Đồ thị của Pα ( x ) cho bởi h.1.1
y
α >1 α =1
0 <α <1
1 α =0
α <0
O 1
H.1.1
B. Hàm mũ cơ số a
Xét a ∈ *+ \{1} . Hàm mũ cơ số a, kí hiệu là exp a x , là ánh xạ từ vào *
+ , xác định như
sau: ∀x ∈ , exp a x = a x . Đồ thị của y = a x cho bởi h.1.2.
C. Hàm lôgarit cơ số a
Xét a ∈ *+ \{1} . Hàm lôgarit cơ số a, kí hiệu là log a ,là ánh xạ ngược với ánh xạ exp a ,
như vậy ∀( x, y ) ∈ *+ × , y = log a x ⇔ x = a y
Đồ thị của hàm số y = log a x cho bởi hình h.1.3.
Chú ý: Hàm luỹ thừa có thể mở rộng khi miền xác định là .
y y
logax, a>1
ax, a>1
1 O 1 x
ax, 0 < a < 1
x logax, 0 H.1.2 H.1.3
Tính chất của hàm số lôgarit
1. log a 1 = 0
9
Chương 1: Hàm số một biến số
log a xy = log a x + log a y
2. ∀x, y ∈ *
+ , x
log a = log a x − log a y
y
∀α ∈ log a xα = α log a x
3. ∀a, b ∈ *+ , log b x = log b a.log a x
4. ∀x ∈ *+ , log 1 x = − log a x
a
Chú ý: Sau này người ta thường lấy cơ số a là số e và gọi là lôgarit Nêpe hay lôgarit tự
ln x
nhiên của x, kí hiệu y = lnx và suy ra log a x = , e = 2,718281828459045…,
ln a
1
lg e = = 0, 434294...
ln10
D. Các hàm số lượng giác
Các hàm số lượng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx đã được xét kỹ trong chương trình phổ thông
trung học. Dưới đây chúng ta chỉ nhắc lại một số tính chất cơ bản của chúng.
Tính chất:
1. sinx xác định trên , là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì T = 2 π và bị chặn:
−1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈
2. cosx xác định trên , là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì T = 2 π và bị chặn:
−1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈
π
3. tgx xác định trên \{ + kπ , k ∈ }, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = π và
2
nhận giá trị trên khoảng (−∞,+∞) .
4. cotgx xác định trên \{ kπ , k ∈ }, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = π và nhận
giá trị trên khoảng (−∞,+∞) .
E. Các hàm số lượng giác ngược
⎡ π π⎤
1. Hàm arcsin (đọc là ác-sin) là ánh xạ ngược của sin: ⎢− , ⎥ → [− 1,1]
⎣ 2 2⎦
⎡ π π⎤
Kí hiệu là arcsin: [− 1,1] → ⎢− , ⎥ .
⎣ 2 2⎦
⎡ π π⎤
Vậy ta có: ∀x ∈ [− 1,1], ∀y ∈ ⎢− , ⎥ , y = arcsin x ⇔ x = sin y
⎣ 2 2⎦
Đồ thị của y = arcsinx cho trên hình 1.4
10
Chương 1: Hàm số một biến số
y y
arccosx
π
π arcsinx
2
π
π 2
−
2 -1 1
O 1 π x π
2 O π x
2
H.1.4 H.1.5
2. Hàm arccosin (đọc là ác- cô- sin) là ánh xạ ngược của cos : [0,π ] → [− 1,1] kí hiệu:
arccos : [− 1,1] → [0, π ]
∀x ∈ [− 1,1], ∀y ∈ [0, π ], y = arccos x ⇔ x = cos y
Đồ thị hàm số y = arccosx cho trên hình 1.5
⎛π ⎞ ⎛π ⎞
⎜ − arcsin x ⎟ ∈ [0, π ] cos⎜ − arcsin x ⎟ = sin(arcsin x) = x
⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
π
Vậy arccos x + arcsin x =
2
⎛ π π⎞
3. Hàm arctang (đọc là ác-tang) là ánh xạ ngược của tg : ⎜ − , ⎟ → , kí hiệu:
⎝ 2 2⎠
⎛ π π⎞
arctg : → ⎜ − , ⎟
⎝ 2 2⎠
⎛ π π⎞
Vậy ta có ∀x ∈ , ∀y ∈ ⎜ − , ⎟ y = arctgx ⇔ x = tgy
⎝ 2 2⎠
Đồ thị của y = arctgx cho trên hình 1.6.
4. Hàm arccôtang (đọc là ác-cô-tang) là ánh xạ ngược của cotg : (0, π ) → kí hiệu:
⎛ π⎞
arc cot g : → ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠
⎛ π⎞
Vậy ta có ∀x ∈ , ∀y ∈ ⎜ 0, ⎟ y = arc cot gx ⇔ x = cot gy
⎝ 2⎠
Đồ thị hàm y = arccotgx cho trên hình 1.7
11
Chương 1: Hàm số một biến số
y
tg
π
2
arctg
0 π x
2
H.1.6
y
π
π
2
arccotg
0 π π x
2
H.1.7
12
Chương 1: Hàm số một biến số
∀x ∈ , cot g (arc cot gx) = x
π
Vậy arctgx + arc cot gx =
2
Người ta gọi hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit, các hàm số lượng giác và các
hàm số lượng giác ngược là các hàm số sơ cấp cơ bản.
H. Đa thức, hàm hữu tỉ.
1. Ánh xạ P: X → được gọi là đa thức khi và chỉ khi tồn tại n ∈ và
n
(a0 , a1 ,..., an ) ∈ n +1 sao cho ∀x ∈ X , P ( x ) = ∑ ai x i
i =0
Nếu an ≠ 0 , gọi n là bậc của đa thức, kí hiệu degP(x) = n
2. Ánh xạ f : X→ được gọi là hàm hữu tỉ khi và chỉ khi tồn tại hai đa thức
P( x )
P, Q: X→ sao cho ∀x ∈ X , Q( x ) ≠ 0, f ( x) =
Q( x )
P( x )
Gọi f ( x ) = là hàm hữu tỉ thực sự khi và chỉ khi: degP(x) < degQ(x)
Q( x )
3. Hàm hữu tỉ tối giản là các phân thức có dạng:
A Bx + C
hoặc
( x − a) k
( x + px + q) k
2
2
Trong đó k ∈ *
, a, p, q, A, B , C là các số thực và p − 4q <0
Dưới đây ta đưa ra các định lí được chứng minh trong lí thuyết đại số
Định lí 1.1: Mọi đa thức bậc n với các hệ số thực đều có thể phân tích ra thừa số trong dạng:
P( x ) = an ( x − α1 ) k1 ...( x − α l ) k l ( x 2 + p1 x + q1 ) β1 ...( x 2 + pm x + qm ) β m
trong đó α i (i = 1, l ) là các nghiệm thực bội ki của đa thức, còn p j , q j , β j ∈
l m
với j = 1,2,..., m và ∑ ki + 2∑ β j = n ,
2
p j − 4q j < 0 ; j = 1, m
i =1 j =1
Định lí 1.2: Mọi hàm hữu tỉ thực sự đều có thể phân tích thành tổng hữu hạn các hàm hữu tỉ tối
giản. .
1.1.3. Hàm số sơ cấp
Định nghĩa: Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép
tính cộng, trừ, nhân, chia và các phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng
số, chẳng hạn f ( x) = e − cosx ln x − 2 x3arcsinx 2 là một hàm số sơ cấp.
1.1.4. Các hàm số trong phân tích kinh tế
A. Hàm cung và hàm cầu
Khi phân tích thị trường hàng hóa và dịch vụ, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hàm cung
(supply function) và hàm cầu (demand function) để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và
lượng cầu của một loại hàng hóa vào giá trị của hàng hóa đó. Hàm cung và hàm cầu biểu diễn
13
Chương 1: Hàm số một biến số
tương ứng là: Qs = S ( p ), Qd = D( p ) , trong đó: p là giá hàng hóa, Qs là lượng cung (quantity
supplied), tức là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá; Qd là lượng cầu
(quantity demanded), tức là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá.
Tất nhiên, lượng cung và lượng cầu hàng hóa không chỉ phụ thuộc vào giá cả của hàng hóa
đó, mà còn chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố khác, chẳng hạn như thu nhập và giá của các hàng
hóa liên quan. Khi xem xét các mô hình hàm cung và hàm cầu ở dạng nêu trên người ta giả thiết
rằng các yếu tố khác không thay đổi. Quy luật thị trường trong kinh tế học nói rằng, đối với các
hàng hóa thông thường, hàm cung là hàm đơn điệu tăng, còn hàm cầu là đơn điệu giảm. Điều
này có nghĩa là, với các yếu tố khác giữ nguyên, khi giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn
bán nhiều hơn và người mua sẽ mua ít đi. Các nhà kinh tế gọi đồ thị của hàm cung và hàm cầu là
đường cung và đường cầu. Giao điểm của đường cung và đường cầu gọi là điểm cân bằng của thị
trường. Ở mức giá cân bằng p ta có Qs = Qd = Q, tức là người bán bán hết và người mua mua
đủ, thị trường không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa.
Chú ý: Trong các tài liệu kinh tế người ta thường sử dụng trục hoành để biểu diễn lượng Q, trục
tung để biểu diễn giá p. Cách biểu diễn như vậy tương ứng với việc biểu diễn hàm ngược của
hàm cung và hàm cầu: p = S −1 (Qs ), p = D −1 (Qd ) . Trong kinh tế học nhiều khi người ta vẫn gọi
các hàm này là hàm cung và hàm cầu. Đồ thị của chúng được cho trên H.1.8.
B. Hàm sản xuất ngắn hạn
Các nhà kinh tế học sử dụng khái niệm hàm sản xuất để mô tả sự thuộc của sản lượng hàng
hóa (tổng số lượng sản phẩm hiện vật) của một nhà sản xuất vào các yếu tố đầu vào của sản xuất,
như vốn và lao động v,v…
p = S −1 (Qs )
p = D −1 (Qs )
H.1.8
Trong kinh tế học khái niệm ngắn hạn và dài hạn không được xác định bằng một khoảng thời
gian cụ thể, mà được hiểu theo nghĩa như sau:
Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu tố sản xuất không thay đổi. Dài
hạn là khoảng thời gian mà tất cả các yếu tố sản xuất có thể thay đổi.
Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng là vốn
(capital) và lao động (labor), được kí hiệu tương ứng là K và L.
Trong ngắn hạn thì K không thay đổi, do đó hàm sản xuất ngắn hạn có dạng:
Q = f ( L)
14
Chương 1: Hàm số một biến số
trong đó L là lượng lao động được sử dụng và Q là mức sản lượng tương ứng. Chú ý rằng người
ta xét hàm sản xuất sản lượng Q và các yếu tố sản xuất K, L được đo theo luồng (flow), tức là đo
theo định kì (hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng, hàng năm v,v…)
C. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận
Tổng doanh thu (total revenue), tổng chi phí (total cost) và tổng lợi nhuận (total profit) của
nhà sản xuất phụ thuộc vào hàng hóa. Khi phân tích sản xuất, cùng với hàm sản xuất, các nhà
kinh tế học còn sử dụnh các hàm số:
1. Hàm doanh thu là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng doanh thu, kí hiệu TR vào sản
lượng Q:
TR = TR(Q)
Chẳng hạn, tổng doanh thu của nhà sản xuất cạnh tranh là hàm bậc nhất:
TR = pQ
trong đó p là giá sản phẩm trên thị trường.
2. Hàm chi phí là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí, kí hiệu TC vào sản lượng Q:
TC = TC(Q)
. 3. Hàm lợi nhuận là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận, kí hiệu π vào sản
lượng Q:
π = π (Q)
Hàm lợi nhuận có thể xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí:
π = TR(Q) − TC(Q).
D. Hàm tiêu dùng
Lượng tiền mà người tiêu dùng dành để mua sắm hàng hóa và dịch vụ phụ thuộc vào thu nhập.
Các nhà kinh tế sử dụng hàm tiêu dùng để biểu diễn sự phụ thuôc của biến tiêu dùng, kí hiệu C
(consumption) vào biến thu nhập Y (income):
C = f(Y)
Theo qui luật chung, khi thu nhập tăng, người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn, do đó hàm
tiêu dùng là hàm đồng biến.
1.2.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1.2.1. Khái niệm về giới hạn
A. Định nghĩa giới hạn
Ta gọi δ − lân cận của điểm a ∈ là tập Ωδ (a) = (a − δ , a + δ )
Gọi A- lân cận của + ∞ là tập Ω A (+∞) = ( A,+∞) với A>0 và khá lớn.
Gọi B- lân cận của − ∞ là tập Ω B (−∞) = (−∞,− B ) với B>0 và khá lớn.
Cho f xác định ở lân cận điểm a (có thể không xác định tại a )
1. Nói rằng f có giới hạn là l khi x dần đến a (gọi tắt: có giới hạn là l tại a) nếu
∀ε > 0, ∃Ωη (a) ⊂ X , ∀x ∈ Ωη (a) \ {a} ⇒ f ( x ) − l < ε
2. Nói rằng f có giới hạn là + ∞ tại a nếu
∀A > 0, ∃Ωη (a) ⊂ X , ∀x ∈ Ωη (a) \ {a} ⇒ f ( x ) > A .
15
Chương 1: Hàm số một biến số
3. Nói rằng f có giới hạn là − ∞ tại a nếu − f có giới hạn là + ∞ tại a
4. Nói rằng f có giới hạn là l tại + ∞ nếu
∀ε > 0, ∃Ω A (+∞) ⊂ X , ∀x ∈ Ω A (+∞) ⇒ f ( x ) − l < ε .
5. Nói rằng f có giới hạn là l tại − ∞ nếu
∀ε > 0, ∃Ω B (−∞) ⊂ X , ∀x ∈ Ω B (−∞) ⇒ f ( x ) − l < ε .
6. Nói rằng f có giới hạn là + ∞ tại + ∞ nếu
∀A > 0, ∃Ω M (+∞) ⊂ X , ∀x ∈ Ω M (+∞) ⇒ f ( x ) > A .
7. Nói rằng f có giới hạn là − ∞ tại + ∞ nếu và chỉ nếu − f có giới hạn là + ∞ tại
+∞
8. Nói rằng f có giới hạn là + ∞ tại − ∞ nếu
∀A > 0, ∃Ω M (−∞) ⊂ X , ∀x ∈ Ω M (−∞) ⇒ f ( x) > A .
9. Nói rằng f có giới hạn là − ∞ tại − ∞ khi và chỉ khi − f có giới hạn là + ∞ tại − ∞
Khi f ( x ) có giới hạn là l tại a hoặc tại ± ∞ nói rằng f ( x ) có giới hạn hữu hạn tại a hoặc tại
± ∞ . Ngược lại f ( x ) có giới hạn là ± ∞ , nói rằng nó có giới hạn vô hạn.
B. Định nghĩa giới hạn một phía.
1. Nói rằng f có giới hạn trái tại a là l1 nếu
∀ε > 0, ∃η > 0 (∃Ωη (a) ⊂ X ), ∀x ,0 < a − x < η ⇒ f ( x ) − l1 < ε .
2. Nói rằng f có giới hạn phải tại a là l2 nếu
∀ε > 0, ∃η > 0 , ∀x , 0 < x − a < η ⇒ f ( x ) − l2 < ε .
Kí hiệu f có giới hạn là l tại a thường là:
lim f ( x ) = l hoặc f ( x) → l
x →a x →a
Tương tự có các kí hiệu: lim f ( x) = +∞, −∞; lim f ( x) = l , +∞, −∞
x →a x →±∞
Kí hiệu f có giới hạn trái tại a là l1 , thường dùng ( )
lim f ( x ) = f a − = l1
x →a −
Tương tự ( )
lim f ( x ) = f a + = l2
x →a +
Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để lim f ( x ) = l là f (a − ) = f (a + ) = l.
x →a
1.2.2. Tính chất của hàm có giới hạn.
A. Tính duy nhất của giới hạn
Định lí 1.3: Nếu lim f ( x ) = l thì l là duy nhất.
x →a
B. Tính bị chặn
Định lí 1.4: Nếu lim f ( x ) = l thì f (x ) bị chặn trong một lân cận của a.
x →a
Chứng minh:
16
Chương 1: Hàm số một biến số
Lấy ε = 1, ∃η > 0, ∀x ∈ Ωη (a) \ {a} ⇒ f ( x ) − l < 1.
Hay f ( x ) = f ( x ) − l + l ≤ f ( x ) − l + l ≤ 1 + l
Chú ý:
• Trường hợp a = +∞, a = −∞ cũng chứng minh tương tự.
• Định lí đảo: Hàm f (x ) không bị chặn trong lân cận của a thì không có giới hạn hữu hạn
tại a.
1 1
Chẳng hạn f ( x ) = sin không có giới hạn hữu hạn tại 0.
x x
C. Tính chất thứ tự của giới hạn và nguyên lí kẹp.
Định lí 1.5: Cho lim f ( x ) = l . Khi đó:
x →a
1. Nếu c < l thì trong lân cận đủ bé của a : c < f ( x )
2. Nếu l < d thì trong lân cận đủ bé của a : f ( x ) < d
3. Nếu c < l < d thì trong lân cận đủ bé của a : c < f ( x ) < d
Chứng minh:
1. ε = l − c > 0, ∃η1 , ∀x ∈ Ωη1 (a) \ {a} ⇒ f ( x ) − l < l − c ⇒ c < f ( x )
2. ε = d − l , ∃η2 , ∀x ∈ Ωη 2 (a) \ {a} ⇒ f ( x ) − l < d − l ⇒ f ( x ) < d
3. ∃η = Min(η1,η2 ), ∀x ∈ Ωη (a) \ {a} ⇒ c < f ( x ) < d
Chú ý: Định lí trên không còn đúng khi thay các bất đẳng thức ngặt bằng các bất đẳng thức
không ngặt.
Định lí 1.6: Cho lim f ( x ) = l, khi đó
x →a
1. Nếu c ≤ f (x ) trong lân cận của a thì c ≤ l
2. Nếu f ( x ) ≤ d trong lân cận của a thì l ≤ d
3. Nếu c ≤ f ( x ) ≤ d trong lân cận của a thì c ≤ l ≤ d
Nhờ vào lập luận phản chứng, chúng ta thấy định lí trên thực chất là hệ quả của định lí 1.
Định lí 1.7( Nguyên lí kẹp): Cho ba hàm số f , g, h thoả mãn: f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x ) trên X; và
lim f ( x ) = lim h( x ) = l Khi đó lim g ( x ) = l
x →a x →a x →a
Chứng minh: ∀ε > 0, ∃η1 ,η2 , ∀x : 0 < x − a < η1 ⇒ f ( x ) − l < ε
0 < x − a < η 2 ⇒ h( x) − l < ε
⎧⎪ f ( x) − l < ε
Lấy η = Min(η1 ,η2 ) thì ∀x ∈ X : 0 < x − a <η ⇒ ⎨
⎪⎩ h( x) − l < ε
⇒ −ε < f ( x ) − l ≤ g ( x ) − l ≤ h( x ) − l < ε . Tức là lim g ( x ) = l
x →a
Chú ý: Định lí đúng với các trường hợp a = +∞, a = −∞
17
Chương 1: Hàm số một biến số
Định lí 1.8: Nếu trong lân cận của a có f ( x ) ≤ g ( x ) và lim f ( x ) = +∞ thì:
x →a
lim g ( x ) = +∞
x →a
Chứng minh:
∀A > 0, ∃η1 , ∀x : 0 < x − a < η1 ⇒ f ( x ) > A
Mặt khác ∃η2 , ∀x : 0 < x − a < η2 ⇒ f ( x ) ≤ g ( x )
Lấy η = Min(η1 ,η2 ), ∀x : 0 < x − a < η ⇒ g ( x ) > A chứng tỏ g ( x) → − ∞
x →a
Chú ý:
• Định lí đúng với trường hợp a = +∞, a = −∞
• Tương tự có định lí khi f ( x) → − ∞
x→a
D. Các phép tính đại số của hàm số có giới hạn
Định lí 1.9: (Trường hợp giới hạn hữu hạn):
1. f ( x) → l ⇒ f ( x) → l
x →a x→a
2. f ( x) → 0 ⇔ f ( x) → 0
x→a x→a
3. f ( x) → l1 và g ( x) → l2 ⇒ f ( x) + g ( x) → l1 + l2
x→a x→a x→a
4. f ( x) → l ⇒ λ. f ( x) → λl , λ∈
x→a x→a
5. f ( x) → 0 và g ( x ) bị chặn trong lân cận của a ⇒ f ( x).g ( x) → 0
x→a x→a
6. f ( x) → l1 và g ( x) → l2 ⇒ f ( x).g ( x) → l1.l2
x→a x→a x→a
f ( x) l
7. f ( x) → l1 và g ( x) → l2 ≠ 0 ⇒ → 1
x→a x →a g ( x ) x → a l2
Định lí 1.10 (Trường hợp giới hạn vô hạn):
1. Nếu f ( x) → + ∞ và g ( x) ≥ m trong lân cận của a thì f ( x) + g ( x) → + ∞
x→a x→a
2. Nếu f ( x) → + ∞ và g ( x) ≥ m > 0 trong lân cận của a thì f ( x).g ( x) → + ∞
x→a x →a
E. Giới hạn của hàm hợp
Cho f : X → , g: Y→ và f (X ) ⊂ Y
Định lí 1.11: Nếu f ( x) → b và g ( y ) → l thì g ( f ( x)) → l
x →a y →b x→a
Chứng minh:
∀ε > 0, ∃η , ∀y : 0 < y − b < η ⇒ g ( y) − l < ε
∃δη , ∀x : 0 < x − a < δ η ⇒ f ( x) − b < η
∀x : 0 < x − a < δ η ⇒ g ( f ( x)) − l < ε , vậy g ( f ( x)) → l
x→a
18
Chương 1: Hàm số một biến số
F. Giới hạn của hàm đơn điệu
Định lí 1.12: Cho f : ( a, b) → , a, b ∈ hoặc a, b ∈ và là hàm tăng.
1. Nếu f bị chặn trên bởi M thì lim− f ( x) = M * ≤ M
x →b
2. Nếu f không bị chặn trên thì lim− f ( x) = +∞
x →b
Định lí 1.12 có thể suy diễn cho trường hợp f ( x) giảm trên (a,b).Kết quả cho trên hình 1.9
f : ( a, b) → Kết luận Đồ thị
Tăng và bị f (x) →− Sup f (x)
x→b (ab
,)
chặn trên a b
Giảm và bị
chặn dưới f (x) →− Inf f (x)
x→b ( a,b)
Giảm và bị
chặn trên f (x) →+ Sup f (x)
x→a (a,b)
Tăng và bị f ( x) →+ Inf f ( x)
x →a
chặn dưới
Tăng và không
bị chặn trên f ( x) →− + ∞
x →b
Giảm và không
bị chặn dưới f ( x) →− − ∞
x →b
Giảm và không f ( x) →+ + ∞
x→a
bị chặn trên
Tăng và không f ( x) →+ − ∞
x →a
bị chặn dưới
H.1.9
19
Chương 1: Hàm số một biến số
Định lí 1.13: Nếu f (x) xác định tại a và tăng ở lân cận của a thì luôn tồn tại một giới hạn trái
và một giới hạn phải hữu hạn tại a đồng thời có hệ bất đẳng thức:
lim f ( x) ≤ f (a ) ≤ lim+ f ( x)
x→a − x→a
Chứng minh:
Rõ ràng: f (x) tăng và bị chặn trên bởi f (a) ở lân cận bên trái của a.
f (x) tăng và bị chặn dưới bởi f (a) ở lân cận bên phải của a.
Theo định lí 1.12, chúng ta nhận được kết quả cần chứng minh. Ta có kết quả
tương tự khi f giảm. Hình 1.10. mô tả định lí 1.13.
y
f (a + )
f (a)
f (a − )
0 a x
H.1.10
1.2.3. Các giới hạn đáng nhớ
sin x x
A. lim = lim =1 (1.1)
x →0 x x → 0 sin x
⎛ π π⎞
Chứng minh: Dễ dàng thấy được x ∈ ⎜ − , ⎟ \ {0}
⎝ 2 2⎠
sin x
thì có bất đẳng thức kép: cos x < < 1.
x
Dùng định nghĩa chứng minh được lim cos x = 1 . Vậy suy ra công thức (1.1)
x →0
x x
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
B. lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ = e (1.2)
x → +∞
⎝ x⎠ x → −∞
⎝ x⎠
C. lim ln x = +∞, lim ln x = −∞ (1.3)
x → +∞ x →0 +
Chứng minh: Vì lnx tăng trên *
+ nên tại + ∞ hàm số có giới hạn hữu hạn hoặc là + ∞ .
Giả sử có giới hạn hữu hạn l thì lim ln x = l = lim ln 2 x.
x → +∞ x→∞
Tuy nhiên ln 2 x = ln 2 + ln x → l = l + ln 2 vô lý.
1
Vậy ln x → + ∞. ∀x ∈ *+ , ln x = − ln → −∞
x →+∞ x x →o+
20
Chương 1: Hàm số một biến số
1
Ví dụ 1: Chứng minh: lim+ sin x = 0, lim =0
x →0 x → ±∞ x
Giải:
∀ε > 0 ( ε bé) ∀x ∈ Ωε (0) \ {0} có sin x < x .
Lấy η = ε , ∀x : 0 < x < ε ⇒ sin x < ε
1 1
∀ε > 0 để <ε ⇔ x > = A
x ε
1 1
Vậy ∃A ∈ *+ , ∀x : x > A⇒ < ε . Chứng tỏ → 0
x x x →±∞
Ví dụ 2: Tính lim
x→4
2x + 1 − 3
x+2− 2
, lim
x →∞
( x + 1 − x − 1)
2 2
Giải:
2 x + 1 − 3 2( x − 4).( x − 2 + 2) 2.2 2 2
= → = . 2
x−2 − 2 ( x − 4).( 2 x + 1 + 3) x → 4 2.3 3
2
x2 + 1 − x2 − 1 = →0
x + 1 + x 2 − 1 x →∞
2
cos x − cos 3 x
Ví dụ 3: Tính lim
x→0 x2
Giải:
x 3x
− 2 sin 2 + 2 sin 2
cos x − cos 3 x (cos x − 1) + (1 − cos 3x) 2 2
= =
x2 x2 x 2
x 3x
sin 2 sin 2
1 2+ 9 2 →− 1 + 9 = 4
=− 2
2 ⎛ x⎞ 2 ⎛ 3 x ⎞ 2 x →0 2 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠
x2
⎛ x2 −1 ⎞ 1
Ví dụ 4: Tính lim ⎜ 2 ⎟ , lim (1 + sin x ) x
x →∞ x + 1 x →0
⎝ ⎠
Giải:
⎛ 1+ x 2 ⎞ ⎛ 2 x 2 ⎞
x2 ⎜− ⎟.⎜ − ⎟
⎛ x2 − 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ x 2 +1 ⎟⎠
⎜ 2 ⎟ = ⎜ 1 − 2 ⎟
→ e-2
⎝ x +1⎠ ⎝ 1+ x ⎠ x →∞
1 1 sin x
(1 + sin x ) x = (1 + sin x ) sin x x x→
.
e
→0
D. Sự tồn tại giới hạn của các hàm sơ cấp
Định lí 1.14: Hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
21
Chương 1: Hàm số một biến số
1.3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ(VCB) VÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN(VCL)
1.3.1. Đại lượng VCB
A. Định nghĩa:
Hàm số α : X → , gọi là đại lượng VCB tại a nếu như α ( x) → 0 , a có thể là + ∞
x →a
hoặc - ∞
Hệ quả: Để tồn tại lim f ( x) = l điều kiện cần và đủ là hàm số α ( x) = f ( x) − l là VCB tại a.
x→a
B. Tính chất đại số của VCB
Dựa vào tính chất đại số của hàm có giới hạn, nhận được tính chất đại số của các VCB
sau đây:
n n
1. Nếu α i ( x), i = 1,2,..., n là các VCB tại a thì tổng ∑α i ( x) , tích ∏α i ( x) cũng là
i =1 i =1
VCB tại a
2. Nếu α (x) là VCB tại a, f (x) bị chặn trong lân cận của a thì α ( x). f ( x) là VCB tại a.
C. So sánh các VCB
Cho α ( x), β ( x) là các VCB tại a.
α
1. Nếu → 0 thì nói rằng α là VCB cấp cao hơn β tại a, kí hiệu α = o( β ) tại a,
β x→a
cũng nói rằng β là VCB cấp thấp hơn α tại a.
α
2. Nếu → c ≠ 0 thì nói rằng α , β là các VCB ngang cấp tại a.
β x→a
Đặc biệt c = 1 thì nói rằng α , β là các VCB tương đương tại a. Khi đó kí hiệu α ~ β tại a.
Rõ ràng nếu α , β ngang cấp tại a thì tồn tại hằng số c khác không để: α ~ cβ tại a.
3. Nếu γ = o(α k ) thì nói rằng γ là VCB có cấp cao hơn k so với VCB α tại a
4. Nếu γ ~ cα k (c ≠ 0) thì nói rằng γ là VCB có cấp k so với VCB α tại a
α α
Hệ quả 1: Nếu γ ~ α1 , β ~ β1 tại a thì lim = lim 1
x→a β x→a β
1
Hệ quả 2: Nếu α = o( β ) tại a thì α + β ~ β tại a .
Hệ quả 3: Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:
Nếu α * là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB α i , i = 1, m ( )
(
và β * là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB β i , i = 1, n tại a . Khi đó: )
m
∑α i
α*
lim in=1 = lim
x→a x→a β *
∑β
j =1
j
Chú ý: Các VCB đáng nhớ là:
22
===== =====
GIẢI TÍCH 1
(Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa ngành QTKD)
Lưu hành nội bộ
HÀ NỘI - 2007
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
GIẢI TÍCH 1
Biên soạn : TS. VŨ GIA TÊ
LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích (Toán cao cấp A1) là học phần đầu tiên của chương trình toán dành cho sinh viên
các nhóm ngành Quản trị kinh doanh. Để học tốt môn Toán cao cấp theo phương thức Đào tạo từ
xa, bên cạnh các học liệu: sách, giáo trình in, băng đĩa hình,..., sách hướng dẫn cho người học
toán cao cấp là rất cần thiết. Tập sách hướng dẫn này được biên soạn là nhằm mục đích trên. Tập
sách được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Bộ Giáo dục Đào tạo và theo đề
cương chương trình được Học viện Công nghệ BC-VT thông qua năm 2007.
Sách hướng dẫn học toán cao cấp A1 bám sát các giáo trình của các trường đại học đang
giảng dạy chuyên ngành Quản trị kinh doanh, giáo trình dành cho hệ chính qui của Học viện
Công nghệ BC-VT biên soạn năm 2001 và kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của tác giả. Chính
vì thế, tài liệu này có thể dùng để học tập và tham khảo cho sinh viên của tất cả các trường, các
ngành đại học và cao đẳng.
Cách trình bày trong sách thích hợp cho người tự học, đặc biệt phục vụ đắc lực trong công
tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu
của mỗi chương để thấy được mục đích, yêu cầu chính của chương đó. Trong mỗi chương, mỗi
nội dung, người đọc có thể tự đọc và hiểu được thông qua các ví dụ minh hoạ. Sau các chương,
người đọc phải tự trả lời được các câu hỏi ôn tập dưới dạng trắc nghiệm. Nhờ các ví dụ minh hoạ
được đưa ra từ đơn giản đến phức tạp, người đọc có thể coi đó là bài tập mẫu để tự giải các bài
tập có trong tài liệu. Người đọc có thể tự kiểm tra, đánh giá kiến thức, khả năng thu nhận dựa
vào phần hướng dẫn và đáp số được cung cấp ở những trang cuối sách.
Cũng cần nhấn mạnh rằng, nội dung chính của toán cao cấp là phép tính vi phân và phép
tính tích phân mà nền tảng của nó là phép tính giới hạn của hàm số. Chính vì thế chúng tôi trình
bày khá tỉ mỉ hai chương đầu của tài liệu để người học tự đọc cũng có thể có được các kiến thức
vững vàng để đọc tiếp các chương sau. Trong quá trình tự đọc và học qua mạng, tuỳ theo khả
năng tiếp thu, học viên có thể chỉ cần nhớ các định lý và bỏ qua phần chứng minh của nó.
Nhân đây tác giả cũng lưu ý rằng ở bậc trung học phổ thông của nước ta, chương trình
toán cũng đã bao hàm các kiến thức về vi, tích phân. Tuy nhiên các nội dung đó chỉ mang tính
chất giới thiệu do lượng thời gian hạn chế, do cấu tạo chương trình. Vì thế nếu không tự đọc một
cách nghiêm túc các định nghĩa, định lý cũng sẽ vẫn chỉ nắm được một cách hời hợt và như vậy
rất gặp khó khăn trong việc giải các bài tập toán cao cấp.
Sách gồm 5 chương tương ứng với học phần gồm 45 đến 60 tiết:
Chương I: Hàm số và giới hạn
Chương II: Đạo hàm và vi phân.
Chương III: Hàm số nhiều biến số
Chương IV: Phép tính tích phân.
Chương V: Phương trình vi phân
5
Tuy rằng tác giả đã cố gắng rất nhiều, song thời gian bị hạn hẹp.Vì vậy các thiếu sót còn
tồn tại trong cuốn sách là điều khó tránh khỏi. Tác giả chân thành chờ đón sự đóng góp ý kiến
của các bạn đồng nghiệp, học viên xa gần và xin cảm ơn về điều đó.
Chúng tôi bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ BC-VT, Trung
tâm Đào tạo BC-VT1, Phòng Đào tạo Đại học từ xa và các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn Toán
của Học viện Công nghệ BC-VT đã khuyến khích động viên, tạo điều kiện cho ra tập tài liệu này
Hà Nội, ngày 7 tháng 6 năm 2006
Tác giả
6
Chương 1: Hàm số một biến số
CHƯƠNG I: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU
Mọi vật xung quanh ta đều biến đổi theo thời gian. Chúng ta có thể nhận thấy điều đó qua
sự chuyển động cơ học của các vật thể: ô tô, máy bay; sự thay đổi của các đại lượng vật lý: nhiệt
độ, tốc độ, gia tốc; sự biến động kinh tế trong một xã hội: Giá cổ phiếu, lãi suất tiết kiệm,.... Tất
cả các loại hình đó được gán một tên chung là đại lượng hay hàm số, nó phụ thuộc vào đối số
nào đó, chẳng hạn là thời gian. Xem xét hàm số tức là quan tâm đến giá trị, tính chất và biến
thiên của nó. Việc đó đặt ra như một nhu cầu khách quan của con người và xã hội.
Trong chương này, chúng ta cần nắm được các nội dung sau:
1. Mô tả định tính và định lượng các hàm số sơ cấp cơ bản. Nhận biết hàm số sơ cấp, tính
chất giới hạn và liên tục của nó.
2. Khái niệm giới hạn của hàm số trong các quá trình khác nhau, các tính chất về giới hạn
và thành thạo các phương pháp khử các dạng bất định dựa trên phép thay thế các VCB, VCL
tương đương, đặc biệt các giới hạn đáng nhớ:
x x
sin x x ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
lim = lim = 1 , lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ = e
x →0 x x → 0 sin x x → +∞
⎝ x⎠ x → −∞
⎝ x⎠
3. Khái niệm liên tục, gián đoạn của một hàm số. Các tính chất hàm số liên tục trên một
đoạn kín.
4. Các hàm số thường dùng trong phân tích kinh tế.
NỘI DUNG
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
1.1.1. Các định nghĩa cơ bản
A. Định nghĩa hàm số
Cho X là tập không rỗng của . Một ánh xạ f từ X vào gọi là một hàm số một biến số
f :X →
x 6 f ( x)
X gọi là tập xác định của f , f ( X ) gọi là tập giá trị của f . Đôi khi ký hiệu
y = f ( x ), x ∈ X , x gọi là đối số ( biến độc lập), y gọi là hàm số (biến phụ thuộc)
B. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho X đối xứng với 0 tức là ∀x ∈ X ,− x ∈ X
Hàm số f (x) chẵn khi và chỉ khi f ( x) = f (− x) .
Hàm số f (x) lẻ khi và chỉ khi f ( x) = − f (− x).
C. Hàm số tuần hoàn
7
Chương 1: Hàm số một biến số
Hàm số f (x) gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại τ ∈ *+ ,( *
+ được kí hiệu là tập các số
dương) sao cho ∀x ∈ X thì
x+ τ ∈ X và f (x+ τ )= f (x).
Số T dương bé nhất trong các số τ gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f(x).
D. Hàm số đơn điệu
Cho f (x) với x ∈ X .
1. Nói rằng f (x) tăng nếu ∀x1 , x 2 ∈ X , x1 ≤ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x 2 ) .
và f (x) tăng ngặt nếu ∀x1 , x 2 ∈ X , x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) .
2. Nói rằng f (x) giảm nếu ∀x1 , x 2 ∈ X , x1 ≤ x 2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ) .
và f (x) giảm ngặt nếu ∀x1 , x 2 ∈ X , x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) .
3. Nói rằng f (x) đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm.
Nói rằng f (x) đơn điệu ngặt nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt.
E. Hàm số bị chặn
1. Hàm số f (x) bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho :
∀x ∈ X , f ( x ) ≤ A .
2. Hàm số f (x) bị chặn dưới trong X nếu tồn tại số B sao cho: ∀x ∈ X , B ≤ f ( x) .
3. Hàm số f (x) bị chặn trong X nếu tồn tại các số A,B sao cho:
∀x ∈ X , B ≤ f ( x ) ≤ A .
F. Hàm số hợp
Cho f : X → và g: Y → với f ( X ) ⊂ Y gọi ánh xạ
g0 f : X →
x 6 g ( f ( x))
Hay y = g( f (x)) là hàm số hợp của hai hàm f và g.
G. Hàm số ngược
Cho song ánh f : X → Y, X ,Y ⊂
Ánh xạ ngược f −1 : Y → X gọi là hàm số ngược của f
y 6 x = f −1 ( y )
Thông thường đối số kí hiệu là x, hàm số kí hiệu là y, vậy hàm ngược của y = f (x ) là
hàm số y = f −1 ( x ) . Vì thế trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị của hai hàm số f và f −1 là
đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ I và III.
1.1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản
A. Hàm luỹ thừa
Cho α ∈ . Hàm luỹ thừa với số mũ α ,được kí hiệu là Pα , là ánh xạ từ *
+ vào , xác
định như sau ∀x ∈ *+ , Pα ( x) = xα
8
Chương 1: Hàm số một biến số
Nếu α > 0 , coi rằng Pα (0) = 0 . Nếu α = 0 , coi rằng P0 (0) = 1
Đồ thị của Pα ( x ) cho bởi h.1.1
y
α >1 α =1
0 <α <1
1 α =0
α <0
O 1
H.1.1
B. Hàm mũ cơ số a
Xét a ∈ *+ \{1} . Hàm mũ cơ số a, kí hiệu là exp a x , là ánh xạ từ vào *
+ , xác định như
sau: ∀x ∈ , exp a x = a x . Đồ thị của y = a x cho bởi h.1.2.
C. Hàm lôgarit cơ số a
Xét a ∈ *+ \{1} . Hàm lôgarit cơ số a, kí hiệu là log a ,là ánh xạ ngược với ánh xạ exp a ,
như vậy ∀( x, y ) ∈ *+ × , y = log a x ⇔ x = a y
Đồ thị của hàm số y = log a x cho bởi hình h.1.3.
Chú ý: Hàm luỹ thừa có thể mở rộng khi miền xác định là .
y y
logax, a>1
ax, a>1
1 O 1 x
ax, 0 < a < 1
x logax, 0
Tính chất của hàm số lôgarit
1. log a 1 = 0
9
Chương 1: Hàm số một biến số
log a xy = log a x + log a y
2. ∀x, y ∈ *
+ , x
log a = log a x − log a y
y
∀α ∈ log a xα = α log a x
3. ∀a, b ∈ *+ , log b x = log b a.log a x
4. ∀x ∈ *+ , log 1 x = − log a x
a
Chú ý: Sau này người ta thường lấy cơ số a là số e và gọi là lôgarit Nêpe hay lôgarit tự
ln x
nhiên của x, kí hiệu y = lnx và suy ra log a x = , e = 2,718281828459045…,
ln a
1
lg e = = 0, 434294...
ln10
D. Các hàm số lượng giác
Các hàm số lượng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx đã được xét kỹ trong chương trình phổ thông
trung học. Dưới đây chúng ta chỉ nhắc lại một số tính chất cơ bản của chúng.
Tính chất:
1. sinx xác định trên , là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì T = 2 π và bị chặn:
−1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈
2. cosx xác định trên , là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì T = 2 π và bị chặn:
−1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈
π
3. tgx xác định trên \{ + kπ , k ∈ }, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = π và
2
nhận giá trị trên khoảng (−∞,+∞) .
4. cotgx xác định trên \{ kπ , k ∈ }, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = π và nhận
giá trị trên khoảng (−∞,+∞) .
E. Các hàm số lượng giác ngược
⎡ π π⎤
1. Hàm arcsin (đọc là ác-sin) là ánh xạ ngược của sin: ⎢− , ⎥ → [− 1,1]
⎣ 2 2⎦
⎡ π π⎤
Kí hiệu là arcsin: [− 1,1] → ⎢− , ⎥ .
⎣ 2 2⎦
⎡ π π⎤
Vậy ta có: ∀x ∈ [− 1,1], ∀y ∈ ⎢− , ⎥ , y = arcsin x ⇔ x = sin y
⎣ 2 2⎦
Đồ thị của y = arcsinx cho trên hình 1.4
10
Chương 1: Hàm số một biến số
y y
arccosx
π
π arcsinx
2
π
π 2
−
2 -1 1
O 1 π x π
2 O π x
2
H.1.4 H.1.5
2. Hàm arccosin (đọc là ác- cô- sin) là ánh xạ ngược của cos : [0,π ] → [− 1,1] kí hiệu:
arccos : [− 1,1] → [0, π ]
∀x ∈ [− 1,1], ∀y ∈ [0, π ], y = arccos x ⇔ x = cos y
Đồ thị hàm số y = arccosx cho trên hình 1.5
⎛π ⎞ ⎛π ⎞
⎜ − arcsin x ⎟ ∈ [0, π ] cos⎜ − arcsin x ⎟ = sin(arcsin x) = x
⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
π
Vậy arccos x + arcsin x =
2
⎛ π π⎞
3. Hàm arctang (đọc là ác-tang) là ánh xạ ngược của tg : ⎜ − , ⎟ → , kí hiệu:
⎝ 2 2⎠
⎛ π π⎞
arctg : → ⎜ − , ⎟
⎝ 2 2⎠
⎛ π π⎞
Vậy ta có ∀x ∈ , ∀y ∈ ⎜ − , ⎟ y = arctgx ⇔ x = tgy
⎝ 2 2⎠
Đồ thị của y = arctgx cho trên hình 1.6.
4. Hàm arccôtang (đọc là ác-cô-tang) là ánh xạ ngược của cotg : (0, π ) → kí hiệu:
⎛ π⎞
arc cot g : → ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠
⎛ π⎞
Vậy ta có ∀x ∈ , ∀y ∈ ⎜ 0, ⎟ y = arc cot gx ⇔ x = cot gy
⎝ 2⎠
Đồ thị hàm y = arccotgx cho trên hình 1.7
11
Chương 1: Hàm số một biến số
y
tg
π
2
arctg
0 π x
2
H.1.6
y
π
π
2
arccotg
0 π π x
2
H.1.7
12
Chương 1: Hàm số một biến số
∀x ∈ , cot g (arc cot gx) = x
π
Vậy arctgx + arc cot gx =
2
Người ta gọi hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit, các hàm số lượng giác và các
hàm số lượng giác ngược là các hàm số sơ cấp cơ bản.
H. Đa thức, hàm hữu tỉ.
1. Ánh xạ P: X → được gọi là đa thức khi và chỉ khi tồn tại n ∈ và
n
(a0 , a1 ,..., an ) ∈ n +1 sao cho ∀x ∈ X , P ( x ) = ∑ ai x i
i =0
Nếu an ≠ 0 , gọi n là bậc của đa thức, kí hiệu degP(x) = n
2. Ánh xạ f : X→ được gọi là hàm hữu tỉ khi và chỉ khi tồn tại hai đa thức
P( x )
P, Q: X→ sao cho ∀x ∈ X , Q( x ) ≠ 0, f ( x) =
Q( x )
P( x )
Gọi f ( x ) = là hàm hữu tỉ thực sự khi và chỉ khi: degP(x) < degQ(x)
Q( x )
3. Hàm hữu tỉ tối giản là các phân thức có dạng:
A Bx + C
hoặc
( x − a) k
( x + px + q) k
2
2
Trong đó k ∈ *
, a, p, q, A, B , C là các số thực và p − 4q <0
Dưới đây ta đưa ra các định lí được chứng minh trong lí thuyết đại số
Định lí 1.1: Mọi đa thức bậc n với các hệ số thực đều có thể phân tích ra thừa số trong dạng:
P( x ) = an ( x − α1 ) k1 ...( x − α l ) k l ( x 2 + p1 x + q1 ) β1 ...( x 2 + pm x + qm ) β m
trong đó α i (i = 1, l ) là các nghiệm thực bội ki của đa thức, còn p j , q j , β j ∈
l m
với j = 1,2,..., m và ∑ ki + 2∑ β j = n ,
2
p j − 4q j < 0 ; j = 1, m
i =1 j =1
Định lí 1.2: Mọi hàm hữu tỉ thực sự đều có thể phân tích thành tổng hữu hạn các hàm hữu tỉ tối
giản. .
1.1.3. Hàm số sơ cấp
Định nghĩa: Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép
tính cộng, trừ, nhân, chia và các phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng
số, chẳng hạn f ( x) = e − cosx ln x − 2 x3arcsinx 2 là một hàm số sơ cấp.
1.1.4. Các hàm số trong phân tích kinh tế
A. Hàm cung và hàm cầu
Khi phân tích thị trường hàng hóa và dịch vụ, các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hàm cung
(supply function) và hàm cầu (demand function) để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và
lượng cầu của một loại hàng hóa vào giá trị của hàng hóa đó. Hàm cung và hàm cầu biểu diễn
13
Chương 1: Hàm số một biến số
tương ứng là: Qs = S ( p ), Qd = D( p ) , trong đó: p là giá hàng hóa, Qs là lượng cung (quantity
supplied), tức là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán ở mỗi mức giá; Qd là lượng cầu
(quantity demanded), tức là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá.
Tất nhiên, lượng cung và lượng cầu hàng hóa không chỉ phụ thuộc vào giá cả của hàng hóa
đó, mà còn chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố khác, chẳng hạn như thu nhập và giá của các hàng
hóa liên quan. Khi xem xét các mô hình hàm cung và hàm cầu ở dạng nêu trên người ta giả thiết
rằng các yếu tố khác không thay đổi. Quy luật thị trường trong kinh tế học nói rằng, đối với các
hàng hóa thông thường, hàm cung là hàm đơn điệu tăng, còn hàm cầu là đơn điệu giảm. Điều
này có nghĩa là, với các yếu tố khác giữ nguyên, khi giá hàng hóa tăng lên thì người bán sẽ muốn
bán nhiều hơn và người mua sẽ mua ít đi. Các nhà kinh tế gọi đồ thị của hàm cung và hàm cầu là
đường cung và đường cầu. Giao điểm của đường cung và đường cầu gọi là điểm cân bằng của thị
trường. Ở mức giá cân bằng p ta có Qs = Qd = Q, tức là người bán bán hết và người mua mua
đủ, thị trường không có hiện tượng dư thừa hoặc khan hiếm hàng hóa.
Chú ý: Trong các tài liệu kinh tế người ta thường sử dụng trục hoành để biểu diễn lượng Q, trục
tung để biểu diễn giá p. Cách biểu diễn như vậy tương ứng với việc biểu diễn hàm ngược của
hàm cung và hàm cầu: p = S −1 (Qs ), p = D −1 (Qd ) . Trong kinh tế học nhiều khi người ta vẫn gọi
các hàm này là hàm cung và hàm cầu. Đồ thị của chúng được cho trên H.1.8.
B. Hàm sản xuất ngắn hạn
Các nhà kinh tế học sử dụng khái niệm hàm sản xuất để mô tả sự thuộc của sản lượng hàng
hóa (tổng số lượng sản phẩm hiện vật) của một nhà sản xuất vào các yếu tố đầu vào của sản xuất,
như vốn và lao động v,v…
p = S −1 (Qs )
p = D −1 (Qs )
H.1.8
Trong kinh tế học khái niệm ngắn hạn và dài hạn không được xác định bằng một khoảng thời
gian cụ thể, mà được hiểu theo nghĩa như sau:
Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu tố sản xuất không thay đổi. Dài
hạn là khoảng thời gian mà tất cả các yếu tố sản xuất có thể thay đổi.
Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng là vốn
(capital) và lao động (labor), được kí hiệu tương ứng là K và L.
Trong ngắn hạn thì K không thay đổi, do đó hàm sản xuất ngắn hạn có dạng:
Q = f ( L)
14
Chương 1: Hàm số một biến số
trong đó L là lượng lao động được sử dụng và Q là mức sản lượng tương ứng. Chú ý rằng người
ta xét hàm sản xuất sản lượng Q và các yếu tố sản xuất K, L được đo theo luồng (flow), tức là đo
theo định kì (hàng ngày, hàng tuần, hàng tháng, hàng năm v,v…)
C. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận
Tổng doanh thu (total revenue), tổng chi phí (total cost) và tổng lợi nhuận (total profit) của
nhà sản xuất phụ thuộc vào hàng hóa. Khi phân tích sản xuất, cùng với hàm sản xuất, các nhà
kinh tế học còn sử dụnh các hàm số:
1. Hàm doanh thu là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng doanh thu, kí hiệu TR vào sản
lượng Q:
TR = TR(Q)
Chẳng hạn, tổng doanh thu của nhà sản xuất cạnh tranh là hàm bậc nhất:
TR = pQ
trong đó p là giá sản phẩm trên thị trường.
2. Hàm chi phí là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí, kí hiệu TC vào sản lượng Q:
TC = TC(Q)
. 3. Hàm lợi nhuận là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận, kí hiệu π vào sản
lượng Q:
π = π (Q)
Hàm lợi nhuận có thể xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí:
π = TR(Q) − TC(Q).
D. Hàm tiêu dùng
Lượng tiền mà người tiêu dùng dành để mua sắm hàng hóa và dịch vụ phụ thuộc vào thu nhập.
Các nhà kinh tế sử dụng hàm tiêu dùng để biểu diễn sự phụ thuôc của biến tiêu dùng, kí hiệu C
(consumption) vào biến thu nhập Y (income):
C = f(Y)
Theo qui luật chung, khi thu nhập tăng, người ta có xu hướng tiêu dùng nhiều hơn, do đó hàm
tiêu dùng là hàm đồng biến.
1.2.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1.2.1. Khái niệm về giới hạn
A. Định nghĩa giới hạn
Ta gọi δ − lân cận của điểm a ∈ là tập Ωδ (a) = (a − δ , a + δ )
Gọi A- lân cận của + ∞ là tập Ω A (+∞) = ( A,+∞) với A>0 và khá lớn.
Gọi B- lân cận của − ∞ là tập Ω B (−∞) = (−∞,− B ) với B>0 và khá lớn.
Cho f xác định ở lân cận điểm a (có thể không xác định tại a )
1. Nói rằng f có giới hạn là l khi x dần đến a (gọi tắt: có giới hạn là l tại a) nếu
∀ε > 0, ∃Ωη (a) ⊂ X , ∀x ∈ Ωη (a) \ {a} ⇒ f ( x ) − l < ε
2. Nói rằng f có giới hạn là + ∞ tại a nếu
∀A > 0, ∃Ωη (a) ⊂ X , ∀x ∈ Ωη (a) \ {a} ⇒ f ( x ) > A .
15
Chương 1: Hàm số một biến số
3. Nói rằng f có giới hạn là − ∞ tại a nếu − f có giới hạn là + ∞ tại a
4. Nói rằng f có giới hạn là l tại + ∞ nếu
∀ε > 0, ∃Ω A (+∞) ⊂ X , ∀x ∈ Ω A (+∞) ⇒ f ( x ) − l < ε .
5. Nói rằng f có giới hạn là l tại − ∞ nếu
∀ε > 0, ∃Ω B (−∞) ⊂ X , ∀x ∈ Ω B (−∞) ⇒ f ( x ) − l < ε .
6. Nói rằng f có giới hạn là + ∞ tại + ∞ nếu
∀A > 0, ∃Ω M (+∞) ⊂ X , ∀x ∈ Ω M (+∞) ⇒ f ( x ) > A .
7. Nói rằng f có giới hạn là − ∞ tại + ∞ nếu và chỉ nếu − f có giới hạn là + ∞ tại
+∞
8. Nói rằng f có giới hạn là + ∞ tại − ∞ nếu
∀A > 0, ∃Ω M (−∞) ⊂ X , ∀x ∈ Ω M (−∞) ⇒ f ( x) > A .
9. Nói rằng f có giới hạn là − ∞ tại − ∞ khi và chỉ khi − f có giới hạn là + ∞ tại − ∞
Khi f ( x ) có giới hạn là l tại a hoặc tại ± ∞ nói rằng f ( x ) có giới hạn hữu hạn tại a hoặc tại
± ∞ . Ngược lại f ( x ) có giới hạn là ± ∞ , nói rằng nó có giới hạn vô hạn.
B. Định nghĩa giới hạn một phía.
1. Nói rằng f có giới hạn trái tại a là l1 nếu
∀ε > 0, ∃η > 0 (∃Ωη (a) ⊂ X ), ∀x ,0 < a − x < η ⇒ f ( x ) − l1 < ε .
2. Nói rằng f có giới hạn phải tại a là l2 nếu
∀ε > 0, ∃η > 0 , ∀x , 0 < x − a < η ⇒ f ( x ) − l2 < ε .
Kí hiệu f có giới hạn là l tại a thường là:
lim f ( x ) = l hoặc f ( x) → l
x →a x →a
Tương tự có các kí hiệu: lim f ( x) = +∞, −∞; lim f ( x) = l , +∞, −∞
x →a x →±∞
Kí hiệu f có giới hạn trái tại a là l1 , thường dùng ( )
lim f ( x ) = f a − = l1
x →a −
Tương tự ( )
lim f ( x ) = f a + = l2
x →a +
Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để lim f ( x ) = l là f (a − ) = f (a + ) = l.
x →a
1.2.2. Tính chất của hàm có giới hạn.
A. Tính duy nhất của giới hạn
Định lí 1.3: Nếu lim f ( x ) = l thì l là duy nhất.
x →a
B. Tính bị chặn
Định lí 1.4: Nếu lim f ( x ) = l thì f (x ) bị chặn trong một lân cận của a.
x →a
Chứng minh:
16
Chương 1: Hàm số một biến số
Lấy ε = 1, ∃η > 0, ∀x ∈ Ωη (a) \ {a} ⇒ f ( x ) − l < 1.
Hay f ( x ) = f ( x ) − l + l ≤ f ( x ) − l + l ≤ 1 + l
Chú ý:
• Trường hợp a = +∞, a = −∞ cũng chứng minh tương tự.
• Định lí đảo: Hàm f (x ) không bị chặn trong lân cận của a thì không có giới hạn hữu hạn
tại a.
1 1
Chẳng hạn f ( x ) = sin không có giới hạn hữu hạn tại 0.
x x
C. Tính chất thứ tự của giới hạn và nguyên lí kẹp.
Định lí 1.5: Cho lim f ( x ) = l . Khi đó:
x →a
1. Nếu c < l thì trong lân cận đủ bé của a : c < f ( x )
2. Nếu l < d thì trong lân cận đủ bé của a : f ( x ) < d
3. Nếu c < l < d thì trong lân cận đủ bé của a : c < f ( x ) < d
Chứng minh:
1. ε = l − c > 0, ∃η1 , ∀x ∈ Ωη1 (a) \ {a} ⇒ f ( x ) − l < l − c ⇒ c < f ( x )
2. ε = d − l , ∃η2 , ∀x ∈ Ωη 2 (a) \ {a} ⇒ f ( x ) − l < d − l ⇒ f ( x ) < d
3. ∃η = Min(η1,η2 ), ∀x ∈ Ωη (a) \ {a} ⇒ c < f ( x ) < d
Chú ý: Định lí trên không còn đúng khi thay các bất đẳng thức ngặt bằng các bất đẳng thức
không ngặt.
Định lí 1.6: Cho lim f ( x ) = l, khi đó
x →a
1. Nếu c ≤ f (x ) trong lân cận của a thì c ≤ l
2. Nếu f ( x ) ≤ d trong lân cận của a thì l ≤ d
3. Nếu c ≤ f ( x ) ≤ d trong lân cận của a thì c ≤ l ≤ d
Nhờ vào lập luận phản chứng, chúng ta thấy định lí trên thực chất là hệ quả của định lí 1.
Định lí 1.7( Nguyên lí kẹp): Cho ba hàm số f , g, h thoả mãn: f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x ) trên X; và
lim f ( x ) = lim h( x ) = l Khi đó lim g ( x ) = l
x →a x →a x →a
Chứng minh: ∀ε > 0, ∃η1 ,η2 , ∀x : 0 < x − a < η1 ⇒ f ( x ) − l < ε
0 < x − a < η 2 ⇒ h( x) − l < ε
⎧⎪ f ( x) − l < ε
Lấy η = Min(η1 ,η2 ) thì ∀x ∈ X : 0 < x − a <η ⇒ ⎨
⎪⎩ h( x) − l < ε
⇒ −ε < f ( x ) − l ≤ g ( x ) − l ≤ h( x ) − l < ε . Tức là lim g ( x ) = l
x →a
Chú ý: Định lí đúng với các trường hợp a = +∞, a = −∞
17
Chương 1: Hàm số một biến số
Định lí 1.8: Nếu trong lân cận của a có f ( x ) ≤ g ( x ) và lim f ( x ) = +∞ thì:
x →a
lim g ( x ) = +∞
x →a
Chứng minh:
∀A > 0, ∃η1 , ∀x : 0 < x − a < η1 ⇒ f ( x ) > A
Mặt khác ∃η2 , ∀x : 0 < x − a < η2 ⇒ f ( x ) ≤ g ( x )
Lấy η = Min(η1 ,η2 ), ∀x : 0 < x − a < η ⇒ g ( x ) > A chứng tỏ g ( x) → − ∞
x →a
Chú ý:
• Định lí đúng với trường hợp a = +∞, a = −∞
• Tương tự có định lí khi f ( x) → − ∞
x→a
D. Các phép tính đại số của hàm số có giới hạn
Định lí 1.9: (Trường hợp giới hạn hữu hạn):
1. f ( x) → l ⇒ f ( x) → l
x →a x→a
2. f ( x) → 0 ⇔ f ( x) → 0
x→a x→a
3. f ( x) → l1 và g ( x) → l2 ⇒ f ( x) + g ( x) → l1 + l2
x→a x→a x→a
4. f ( x) → l ⇒ λ. f ( x) → λl , λ∈
x→a x→a
5. f ( x) → 0 và g ( x ) bị chặn trong lân cận của a ⇒ f ( x).g ( x) → 0
x→a x→a
6. f ( x) → l1 và g ( x) → l2 ⇒ f ( x).g ( x) → l1.l2
x→a x→a x→a
f ( x) l
7. f ( x) → l1 và g ( x) → l2 ≠ 0 ⇒ → 1
x→a x →a g ( x ) x → a l2
Định lí 1.10 (Trường hợp giới hạn vô hạn):
1. Nếu f ( x) → + ∞ và g ( x) ≥ m trong lân cận của a thì f ( x) + g ( x) → + ∞
x→a x→a
2. Nếu f ( x) → + ∞ và g ( x) ≥ m > 0 trong lân cận của a thì f ( x).g ( x) → + ∞
x→a x →a
E. Giới hạn của hàm hợp
Cho f : X → , g: Y→ và f (X ) ⊂ Y
Định lí 1.11: Nếu f ( x) → b và g ( y ) → l thì g ( f ( x)) → l
x →a y →b x→a
Chứng minh:
∀ε > 0, ∃η , ∀y : 0 < y − b < η ⇒ g ( y) − l < ε
∃δη , ∀x : 0 < x − a < δ η ⇒ f ( x) − b < η
∀x : 0 < x − a < δ η ⇒ g ( f ( x)) − l < ε , vậy g ( f ( x)) → l
x→a
18
Chương 1: Hàm số một biến số
F. Giới hạn của hàm đơn điệu
Định lí 1.12: Cho f : ( a, b) → , a, b ∈ hoặc a, b ∈ và là hàm tăng.
1. Nếu f bị chặn trên bởi M thì lim− f ( x) = M * ≤ M
x →b
2. Nếu f không bị chặn trên thì lim− f ( x) = +∞
x →b
Định lí 1.12 có thể suy diễn cho trường hợp f ( x) giảm trên (a,b).Kết quả cho trên hình 1.9
f : ( a, b) → Kết luận Đồ thị
Tăng và bị f (x) →− Sup f (x)
x→b (ab
,)
chặn trên a b
Giảm và bị
chặn dưới f (x) →− Inf f (x)
x→b ( a,b)
Giảm và bị
chặn trên f (x) →+ Sup f (x)
x→a (a,b)
Tăng và bị f ( x) →+ Inf f ( x)
x →a
chặn dưới
Tăng và không
bị chặn trên f ( x) →− + ∞
x →b
Giảm và không
bị chặn dưới f ( x) →− − ∞
x →b
Giảm và không f ( x) →+ + ∞
x→a
bị chặn trên
Tăng và không f ( x) →+ − ∞
x →a
bị chặn dưới
H.1.9
19
Chương 1: Hàm số một biến số
Định lí 1.13: Nếu f (x) xác định tại a và tăng ở lân cận của a thì luôn tồn tại một giới hạn trái
và một giới hạn phải hữu hạn tại a đồng thời có hệ bất đẳng thức:
lim f ( x) ≤ f (a ) ≤ lim+ f ( x)
x→a − x→a
Chứng minh:
Rõ ràng: f (x) tăng và bị chặn trên bởi f (a) ở lân cận bên trái của a.
f (x) tăng và bị chặn dưới bởi f (a) ở lân cận bên phải của a.
Theo định lí 1.12, chúng ta nhận được kết quả cần chứng minh. Ta có kết quả
tương tự khi f giảm. Hình 1.10. mô tả định lí 1.13.
y
f (a + )
f (a)
f (a − )
0 a x
H.1.10
1.2.3. Các giới hạn đáng nhớ
sin x x
A. lim = lim =1 (1.1)
x →0 x x → 0 sin x
⎛ π π⎞
Chứng minh: Dễ dàng thấy được x ∈ ⎜ − , ⎟ \ {0}
⎝ 2 2⎠
sin x
thì có bất đẳng thức kép: cos x < < 1.
x
Dùng định nghĩa chứng minh được lim cos x = 1 . Vậy suy ra công thức (1.1)
x →0
x x
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
B. lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ = e (1.2)
x → +∞
⎝ x⎠ x → −∞
⎝ x⎠
C. lim ln x = +∞, lim ln x = −∞ (1.3)
x → +∞ x →0 +
Chứng minh: Vì lnx tăng trên *
+ nên tại + ∞ hàm số có giới hạn hữu hạn hoặc là + ∞ .
Giả sử có giới hạn hữu hạn l thì lim ln x = l = lim ln 2 x.
x → +∞ x→∞
Tuy nhiên ln 2 x = ln 2 + ln x → l = l + ln 2 vô lý.
1
Vậy ln x → + ∞. ∀x ∈ *+ , ln x = − ln → −∞
x →+∞ x x →o+
20
Chương 1: Hàm số một biến số
1
Ví dụ 1: Chứng minh: lim+ sin x = 0, lim =0
x →0 x → ±∞ x
Giải:
∀ε > 0 ( ε bé) ∀x ∈ Ωε (0) \ {0} có sin x < x .
Lấy η = ε , ∀x : 0 < x < ε ⇒ sin x < ε
1 1
∀ε > 0 để <ε ⇔ x > = A
x ε
1 1
Vậy ∃A ∈ *+ , ∀x : x > A⇒ < ε . Chứng tỏ → 0
x x x →±∞
Ví dụ 2: Tính lim
x→4
2x + 1 − 3
x+2− 2
, lim
x →∞
( x + 1 − x − 1)
2 2
Giải:
2 x + 1 − 3 2( x − 4).( x − 2 + 2) 2.2 2 2
= → = . 2
x−2 − 2 ( x − 4).( 2 x + 1 + 3) x → 4 2.3 3
2
x2 + 1 − x2 − 1 = →0
x + 1 + x 2 − 1 x →∞
2
cos x − cos 3 x
Ví dụ 3: Tính lim
x→0 x2
Giải:
x 3x
− 2 sin 2 + 2 sin 2
cos x − cos 3 x (cos x − 1) + (1 − cos 3x) 2 2
= =
x2 x2 x 2
x 3x
sin 2 sin 2
1 2+ 9 2 →− 1 + 9 = 4
=− 2
2 ⎛ x⎞ 2 ⎛ 3 x ⎞ 2 x →0 2 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠
x2
⎛ x2 −1 ⎞ 1
Ví dụ 4: Tính lim ⎜ 2 ⎟ , lim (1 + sin x ) x
x →∞ x + 1 x →0
⎝ ⎠
Giải:
⎛ 1+ x 2 ⎞ ⎛ 2 x 2 ⎞
x2 ⎜− ⎟.⎜ − ⎟
⎛ x2 − 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ x 2 +1 ⎟⎠
⎜ 2 ⎟ = ⎜ 1 − 2 ⎟
→ e-2
⎝ x +1⎠ ⎝ 1+ x ⎠ x →∞
1 1 sin x
(1 + sin x ) x = (1 + sin x ) sin x x x→
.
e
→0
D. Sự tồn tại giới hạn của các hàm sơ cấp
Định lí 1.14: Hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0
21
Chương 1: Hàm số một biến số
1.3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ(VCB) VÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG LỚN(VCL)
1.3.1. Đại lượng VCB
A. Định nghĩa:
Hàm số α : X → , gọi là đại lượng VCB tại a nếu như α ( x) → 0 , a có thể là + ∞
x →a
hoặc - ∞
Hệ quả: Để tồn tại lim f ( x) = l điều kiện cần và đủ là hàm số α ( x) = f ( x) − l là VCB tại a.
x→a
B. Tính chất đại số của VCB
Dựa vào tính chất đại số của hàm có giới hạn, nhận được tính chất đại số của các VCB
sau đây:
n n
1. Nếu α i ( x), i = 1,2,..., n là các VCB tại a thì tổng ∑α i ( x) , tích ∏α i ( x) cũng là
i =1 i =1
VCB tại a
2. Nếu α (x) là VCB tại a, f (x) bị chặn trong lân cận của a thì α ( x). f ( x) là VCB tại a.
C. So sánh các VCB
Cho α ( x), β ( x) là các VCB tại a.
α
1. Nếu → 0 thì nói rằng α là VCB cấp cao hơn β tại a, kí hiệu α = o( β ) tại a,
β x→a
cũng nói rằng β là VCB cấp thấp hơn α tại a.
α
2. Nếu → c ≠ 0 thì nói rằng α , β là các VCB ngang cấp tại a.
β x→a
Đặc biệt c = 1 thì nói rằng α , β là các VCB tương đương tại a. Khi đó kí hiệu α ~ β tại a.
Rõ ràng nếu α , β ngang cấp tại a thì tồn tại hằng số c khác không để: α ~ cβ tại a.
3. Nếu γ = o(α k ) thì nói rằng γ là VCB có cấp cao hơn k so với VCB α tại a
4. Nếu γ ~ cα k (c ≠ 0) thì nói rằng γ là VCB có cấp k so với VCB α tại a
α α
Hệ quả 1: Nếu γ ~ α1 , β ~ β1 tại a thì lim = lim 1
x→a β x→a β
1
Hệ quả 2: Nếu α = o( β ) tại a thì α + β ~ β tại a .
Hệ quả 3: Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:
Nếu α * là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB α i , i = 1, m ( )
(
và β * là VCB cấp thấp nhất trong số các VCB β i , i = 1, n tại a . Khi đó: )
m
∑α i
α*
lim in=1 = lim
x→a x→a β *
∑β
j =1
j
Chú ý: Các VCB đáng nhớ là:
22